Среднее степенное

Среднее степени d (или просто среднее степенное) — разновидность среднего значения. Для набора положительных вещественных чисел [math]\displaystyle{ x_1, \ldots, x_n }[/math] определяется как

[math]\displaystyle{ A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[d]{\frac{\sum\limits_{i=1}^n x^d_i}n}. }[/math]

При этом по принципу непрерывности относительно показателя d доопределяются следующие величины:

[math]\displaystyle{ A_0(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to 0} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt [n]{\prod_{i=1}^n x_i}; }[/math]

[math]\displaystyle{ A_{+\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to +\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \max\{ x_1, \ldots, x_n \}; }[/math]

[math]\displaystyle{ A_{-\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to -\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \min\{ x_1, \ldots, x_n \}. }[/math]

Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.

Наряду с понятием «среднее степенное», используют также среднее степенное взвешенное некоторых величин.

Другие названия

Так как среднее степени d обобщает известные с древности (т. н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.

По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.

Частные случаи

Средние степеней 0, ±1, 2 и [math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math] имеют собственные имена:

• [math]\displaystyle{ A_1(x_1, \ldots, x_n) = m =\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} }[/math] называется средним арифметическим;

(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, делённая на n)

• [math]\displaystyle{ A_0(x_1, \ldots, x_n) = g =\sqrt [n]{x_1 x_2\cdots x_n} }[/math] называется средним геометрическим;

(иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n-ой степени из произведения этих чисел)

• [math]\displaystyle{ A_{-1}(x_1, \ldots, x_n) = h = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}} }[/math] называется средним гармоническим.

(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)

• [math]\displaystyle{ A_{2}(x_1, \ldots, x_n) = s =\sqrt{\frac{x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_n}{n}} }[/math] называется средним квадратичным (квадратическим), известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).
• В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространёнными из них являются среднее кубическое и среднее биквадратическое значения.
• Максимальное и минимальное число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней [math]\displaystyle{ +\infty }[/math] и [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] этих чисел:

[math]\displaystyle{ \operatorname{max} \{x_1,\ldots, x_n\} = A_{+\infty} (x_1, \ldots, x_n); }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{min} \{x_1,\ldots, x_n\} = A_{-\infty} (x_1, \ldots, x_n). }[/math]

Неравенство о средних

Неравенство о средних утверждает, что для любых [math]\displaystyle{ d_1 \gt d_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ A_{d_1}(x_1, \ldots, x_n) \geq A_{d_2}(x_1, \ldots, x_n) }[/math],

причём равенство достигается только в случае равенства всех аргументов [math]\displaystyle{ x_1 = \ldots = x_n }[/math].

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная [math]\displaystyle{ A_d(x_1, \ldots, x_n) }[/math] по [math]\displaystyle{ d }[/math] неотрицательна и обращается в ноль только при [math]\displaystyle{ x_1 = \ldots = x_n }[/math] (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

[math]\displaystyle{ \max\{ x_1, \ldots, x_n \} \geq \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \geq \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \geq \min\{ x_1, \ldots, x_n \}, }[/math]

где каждое из неравенств обращается в равенство только при [math]\displaystyle{ x_1 = \ldots = x_n }[/math].

См. также

• Неравенство Швейцера

Ссылки

• И. И. Жогин. О средних // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1961. — Вып. 6. — С. 217—226.